Производящие ряды классов эквивариантных схем Гротендика нульмерных подсхем на плоскости

Схемы Гротендика нульмерных подсхем на плоскости являются неособыми квазипроективными многообразиями. Производящие ряды их классов в кольце Гротендика квазипроективных многообразий были по сути вычислены Г. Эллинсгрудом и С. А. Штремме. Рассматриваются эквивариантные схемы Гротендика нульмерных подсхем на плоскости по отношению к представлению конечной абелевой группы или одномерного комплексного тора (т. е. группы ненулевых комплексных чисел). Имеются три естественных определения понятия эквивариантной схемы Гротендика нульмерных подсхем для конечной группы. (Впрочем, для подсхем плоскости два из этих определений совпадают.) Вычисления производящих рядов их классов в кольце Гротендика квазипроективных многообразий приводят к довольно сложным комбинаторным задачам. Довольно длинные конечные куски этих рядов могут быть вычислены с использованием компьютера. Эти вычисления показывают, что для одного из определений эквивариантной схемы Гротендика нельзя ожидать разумного ответа в форме, напоминающий ответ для обычных (неэквивариантных) схем Гильберта. Для другого определения эти вычисления приводят к гипотетическим ответам для представлений циклических групп. Соответствующая формула была доказана для одного представления циклической группы (для которого соответствующая фактор-поверхность имеет особенность типа $A_k$). Соответствующие гипотезы для представлений одномерного комплексного тора (также полученные сначала компьютерным счетом) удалось доказать в гораздо большей общности.