Марковские ветвящиеся процессы на $\mathbb{Z}_+$. Подход с использованием ортогональных многочленов

Рассматривается однородный марковский процесс с непрерывным временем на фазовом пространстве $\mathbb{Z}_+=\{0, 1, 2, \ldots \}$, который мы интерпретируем как движение частицы. Частица может переходить только в соседние точки $\mathbb{Z}_+$, то есть при каждой смене положения частицы ее координата изменяется на единицу. Процесс снабжен механизмом ветвления. Источники ветвления могут находиться в каждой точке $\mathbb{Z}_+$. В момент ветвления новые частицы появляются в точке ветвления и дальше начинают эволюционировать независимо друг от друга (и от остальных частиц) по тем же законам, что и начальная частица. Такому ветвящемуся марковскому процессу соответствует матрица Якоби. В терминах ортогональных многочленов, отвечающих этой матрице, получены формулы для среднего числа частиц в произвольной фиксированной точке $\mathbb{Z}_+$ в момент времени $t>0$. Результаты применены к некоторым конкретным моделям, получено точное значение для среднего числа частиц в терминах специальных функций и найдено его асимптотическое поведение при больших временах.