Эффекты квантования и случайные блуждания в группе гомеоморфизмов окружности

В докладе пойдет речь о некотором весьма разветвленном сюжете, в качестве одного из ключевых звеньев которого выступает применение вероятностных методов в теории групп. В центре сюжета - группа автогомеоморфизмов окружности и группы, действующие на окружности гомеоморфизмами. Методы теории случайных блужданий позволяют доказать, что в таких группах, как правило, превалируют - в определенном смысле - элементы, сжимающие "почти всю" окружность в ее малую дугу или, иными словами, отправляющие меру Хаара на окружности (в действительности - произвольную фиксированную вероятностную меру) в меру, близкую к дельта-мере Дирака. Мы обсудим связи этого эффекта с эффектами квантования, теорией границ Пуассона-Фюрстенберга, теорией узлов и кос и т.п.