О жёсткости комплексных родов Хирцебруха на $SU$-многообразиях

В [kr] Кричевер построил обобщённый эллиптический род $\varphi_{Kr}$, называемый теперь родом Кричевера, и доказал, что он является жёстким на любом $SU$-многообразии с действием тора. Условие жёсткости комплексного рода $\varphi \colon \varOmega^U \to R$ на стабильно комплексном многообразии $M$ с действием тора $T^k$, введённое также Кричевером и подробно изученное в [bpr], заключается в том, чтобы универсальное $T^k$-эквивариантное расширение этого рода $\varphi^T \colon \varOmega^{U : T^k} \to R[[x_1, \ldots, x_k]]$ принимало постоянное значение $\varphi^T([M])=\varphi([M])\in R$ на многообразии $M$. Жёсткость – важное свойство рода. Например, в \cite[Theorem 3.24]{bpr} доказано, что для связной компактной группы Ли $G$ с максимальным тором $T^k$ и такой, что $U^*(BG)$ не имеет кручения, жёсткость рода $\varphi$ на стабильно комплексном $G$-многообразии $M$ равносильна его мультипликативности $\varphi([E])=\varphi([B])\varphi([M])$ на расслоениях $M\to E\to B$ со слоем $M$ и структурной группой $G$.
В \cite[Theorem 9.7.13]{bp} Бухштабер и Панов доказали, что если комплексный род $\varphi$ является жёстким на шестимерной сфере $S^6$ (с $T^2$-инвариантной почти комплексной структурой, приходящей из равенства $G_2/SU(3) = S^6$) и $\varphi([S^6]) \ne 0$, то $\varphi$ является родом Кричевера. В частности, $\varphi$ является жёстким на любом $SU$-многообразии с действием тора. Однако, если $\varphi([S^6]) \ne 0$, то из жёсткости на сфере $S^6$ не следует, что $\varphi$ является родом Кричевера.
Недавно [me] удалось доказать, что если комплексный род $\varphi$ является жёстким на сфере сфере $S^6$ и на $10$-мерном квазиторическом $SU$-многообразии $\widetilde L (2, 3)$ построенном в \cite[Construction 4.9]{lp}, то $\varphi$ является родом Кричевера. В частности, он также является жёстким на всех специальных унитарных $T^k$-многообразиях. Таким образом, единственным родом, жёстким на всех $SU$-многообразиях, является род Кричевера.
Если останется время, я также расскажу об аналогичных результатах о связи жёсткости ориентированных родов на проективной плоскости Кэли $\mathbb O P^2$ с родом Виттена.
\begin{thebibliography}{11}
\bibitem{kr} И. М. Кричевер, Обобщенные эллиптические роды и функции Бейкера–Ахиезера, Матем. заметки, 47:2 (1990), 34–45.
\bibitem{bpr} Victor M. Buchstaber, Taras Panov and Nigel Ray, Toric genera. Internat. Math. Res. Notices 2010, no. 16, 3207–3262.
\bibitem{bp} Victor Buchstaber, Taras Panov, Toric topology. Math. Surv. and Monogr., 204. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015.
\bibitem{me} G. Chernykh, On rigidity of complex Hirzebruch genera on $SU$-manifolds, arXiv:2402.10049
\bibitem{lp} Zhi Lü, Taras Panov, On toric generators in the unitary and special unitary bordism rings. Algebr. Geom. Topol 16 (2016), no. 5, 2865–2893.
\end{thebibliography}