Асимптотики типа шепчущей галереи для оператора Лапласа в полнотории

Рассматривается задача на собственные значения и функции для оператора Лапласа в трехмерной области вращения, диффеоморфной полноторию, с условиями Дирихле на границе. Построена последовательность квазимод – асимптотических собственных чисел и асимптотических собственных функций таких, что функции локализованы около границы области (или около части границы). При построении асимптотик используется адиабатическое приближение в форме операторного разделения переменных – для сведения задачи к одномерным. Рассматриваются два режима: (а) когда одномерная задача по параметру вдоль образующей ставится для периодической функции и (б) когда в одномерной задаче возникают две точки поворота и потенциальная яма. Первый случай как раз и соответствует привычному пониманию шепчущей галереи. На примере построенных асимптотик иллюстрируется связь с классическими биллиардами.