Биллиард с гравитационным потенциалом в области, ограниченной двумя софокусными параболами

Рассматривается задача о движении материальной точки в плоской области, ограниченной кусочно-гладкой кривой, с абсолютно упругим отражением на границе (теория математического биллиарда). Исследуется движение биллиарда в областях, ограниченных семейством софокусных парабол, пересекающихся под прямыми углами. Сила тяжести направлена параллельно оси парабол. Такая динамическая система интегрируема, то есть существуют 2 независимые функции (энергия и первый интеграл), которые сохраняются при движении и при отражении от границ. Исследуется переход к параболическим координатам, вычисляется многочлен, в зависимости от расположения корней которого меняются области движения биллиарда. Определены области возможного движения биллиарда в области, ограниченной двумя софокусными параболами. Проведено сравнение этих областей для двух различных случаев расположения второй параболы (ветвями вверх и ветвями вниз). Вычислены меченые молекулы (инварианты Фоменко-Цишанга). Построены бифуркационные диаграммы для обоих случаев.