О близости распределений последовательных сумм в метрике Прохорова

Этот доклад можно считать продолжением доклада 20 октября. Утверждается, что результат, аналогичный изложенному в докладе 20 октября, получен и для расстояния Прохорова $\pi$ между распределениями сумм, нормированных на корень из $n$.
Для любого $d$-мерного распределения $F$ существует $c_1(F)>0$, зависящее только от $F$ и такое, что
$$ (F^n)\{A\}\leqslant (F^{n+1})\{A^{c_1(F)}\}+\frac{c_1(F)}{\sqrt{n}}\ \text{и}\ \ (F^{n+1})\{A\}\leqslant (F^n)\{A^{c_1(F)}\}+\frac{c_1(F)} {\sqrt{n}} $$
для любого борелевского множества $A$ для всех натуральных чисел $n$. Здесь $A^{\varepsilon }$ – $\varepsilon $-окрестность множества $A$, а $F^n$ – $n$-кратная свертка распределения $F$.
Применяя теорему Штрассена–Дадли, отсюда можно вывести следующее утверждение. Для любого $d$-мерного распределения $F$ найдется величина $c_2(F)$, зависящая только от $F$ и такая что для любого натурального $n$ можно построить на одном вероятностном пространстве случайные векторы $\xi_n $ и $\eta_n $ с распределениями $\mathcal{L}(\xi_n )=F^{n+1}$ и $\mathcal{L}(\eta_n )=F^n$, так что $ \mathbf{P}\left\{ \Vert \xi_n -\eta_n \Vert >c_2(F) \right\} \leqslant {c_2(F)}/{\sqrt{n}} $. Следовательно, $\pi(\mathcal{L}(\xi_n/\sqrt{n} ), \mathcal{L}(\eta_n/\sqrt{n} ))\leqslant {c_2(F)}/{\sqrt{n}}$.