О геометрии средних по интервалам векторно-значных функций (совм. с Е.П. Добронравовым и П.Б. Затицким)

Пусть дано некоторое отображение (векторно-значная функция) отрезка в границу выпуклого подмножества евклидова пространства. Как может выглядеть множество средних рассматриваемой функции по всевозможным подотрезкам? У нас нет хоть сколько-нибудь исчерпывающего ответа на этот вопрос. Скорее, несколько наблюдений о том, как это множество не может выглядеть. Эти наблюдения полезны для представления функции мартингалами специального вида. В частности, они позволяют доказать следующий забавный (по-видимому, совершенно бесполезный) факт. Рассмотрим некоторую суммируемую функцию f на окружности. Дугу I будем называть хорошей, если среднее f по I — целое число. Оказывается, что если среднее колебание f по любой хорошей дуге равномерно ограничено, то функция f экспоненциально суммируема. Классическое неравенство Джона—Ниренберга выводит экспоненциальную интегрируемость функции f из условия ограниченности средних колебаний по всем дугам. Точная константа в нашем усилении неравенства Джона—Ниренберга совпадает с точной константой в оригинальном неравенстве.