Об аппроксимационных свойствах конечно порождённых плотных подгрупп в группах Ли

Рассмотрим конечно порождённую плотную подгруппу в группе Ли. Нас интересует скорость аппроксимации элементов группы Ли элементами подгруппы (словами из образующих): как можно оценить расстояние до аппроксимируемого элемента функцией от длины аппроксимирующего слова? В одномерном случае ответ дается при помощи цепных дробей. В случае полупростой группы Ли, например $\mathrm{SL}(2,\mathbb R)$ или $\mathrm{SO}(3)$, известная гипотеза говорит, что всякий элемент объемлющей группы допускает аппроксимацию с экспоненциальной точностью. Частичные результаты, с более слабыми оценками, были получены Соловэем, Китаевым и докладчиком. Обратная гипотеза Гамбурда–Сарнака–Якобсона говорит, что для типичной подгруппы с двумя образующими в группе $\mathrm{SO}(3)$ экспоненциальная точность является оптимальной: точность аппроксимации единичного элемента словами из образующих допускает оценку снизу экспоненциальной функцией от длины слова. Эта гипотеза связана c классическими задачами анализа (проблема Ружевича, спектральная теория…).
Я расскажу о частичных результатах исследования вышеупомянутых гипотез и об открытых вопросах. Предварительных знаний не требуется.