Точки асимметрии и задержки диффузионного процесса

Будут рассмотрены две задачи, связанные с поведением марковского диффузионного процесса в особых точках его области значений, обобщающие и развивающие явление задержки одномерного диффузионного процесса на краях отрезка.
1) Явление задержки и асимметрии во внутренних изолированных точках интервала значений одномерного диффузионного процесса. Как и в случае отражения с замедлением от края отрезка, особое поведение диффузионного процесса в изолированной точке интервала связано с расширением области значений процесса на эту точку с сохранением непрерывного полумарковского свойства процесса. В этом случае поведение процесса на двух смежных интервалах к данной точке может управляться двумя разными стохастическими дифференциальными уравнениями (СДУ) или же одним и тем же уравнением. Соблюдение полумарковского свойства в расширенной области значений означает наличие марковского свойства процесса относительно момента первого выхода из любой интервальной окрестности этой точки. Это приводит к двум дифференциальным уравнениям типа Бернулли, решения которых могут быть получены в терминах исходных двух СДУ с точностью до двух произвольных постоянных. Показано, что эти решения могут быть приведены к такому виду, когда одна произвольная постоянная характеризует задержку процесса при прохождении его траекторий через данную точку, а вторая произвольная постоянная характеризует асимметрию процесса при прохождении через точку слева направо по отношению к прохождению через точку справа налево. Вторая произвольная постоянная в своих крайних значениях делает изолированную точку точкой отражения для процессов справа или слева соответственно.
2) Явление отражения с замедлением двумерного диффузионного процесса от границ области значений этого процесса. Рассматривается случай, когда эта область значений представляет собой полосу с параллельными сторонами или полуплоскость с линейной границей. Разобран случай диффузионного процесса с локально независимыми одномерными координатными составляющими, где система декартовых координат согласована с направлением границ области значений. Показано, как явление замедления при отражении процесса от границы области значений приводит к зависимости нормальной и тангенциальной составляющей процесса. Одним из примеров рассматриваемого отражения с замедлением даёт математическая модель прохождения газа через цилиндрическую трубку с круговым сечением, когда трёхмерное движение броуновской частицы может рассматриваться как бесселевский двумерный диффузионный процесс со значениями на конечном интервале с одной отражающей и одной недостижимой границей. Замедление тангенциальной составляющей при прохождении газа через трубку вызывается замедленным отражением нормальной составляющей от достижимой границы интервала её значений.