О вариационном подходе к системам квазилинейных законов сохранения

Теория квазилинейных систем законов сохранения в современном варианте начала развиваться со второй половины прошлого века. Однако, несмотря на ряд впечатляющих достижений, достаточно полная теория, включая многомерный случай, была построена лишь для одного закона сохранения. В случае систем достаточно общие результаты получены лишь для одной пространственной переменной и, как правило, в предположении малости области изменения, по крайней мере, неизвестных функций. При помощи расширения понятия решения удалось найти доказательство достаточно общих теорем существования обобщенных решений систем двух законов сохранения (одна пространственная переменная), однако, развитую технику в целом не удается распространить даже на системы из трех законов сохранения с одной пространственной переменной. Соответственно возникает предположение о том, что основные используемые методологии, а именно, метод малой вязкости и метод построения приближенных решений недостаточны. В докладе предложен альтернативный взгляд на природу квазилинейных законов сохранения на основе вариационного представления для обобщенных решений квазилинейных систем законов сохранения. Обсуждается два таких представления: 1) на основе обобщения известных результатов (начиная с работ Э. Хопфа) о вариационном представлении решений для одного уравнения; 2) на основе представления обобщенных решений как функционалов на пространстве траекторий.