Алгебраические функции Морса и реализуемость расположений овалов на плоскости в виде алгебраических кривых

Доклад посвящен проблеме, связанной с 16-й проблемой Гильберта об овалах. Показано, что любое расположение овалов на плоскости можно реализовать (с точностью до изотопии) как алгебраическую кривую степени $2r$, где $r$ — количество овалов. Более того, существует реализующий многочлен вида $|P|^2-|Q|^2$ для некоторых взаимно-простых многочленов $P,Q \in \mathbb C[z]$ степеней $r = deg P > deg Q$, корни которого вместе образуют $r$-точечную конфигурацию на плоскости. При этом степень $2r$ кривой является наилучшей для полиномов такого вида $|P|^2-|Q|^2$, т.е. при любом расположении овалов ее нельзя уменьшить, сохранив данный вид реализующего полинома.
Мы также даем положительный ответ на вопрос В.И.Арнольда о реализуемости функций Морса на двумерной сфере алгебраическими функциями. Более того, мы распространим это на все гладкие функции (не обязательно морсовские). А именно, мы доказываем, что любая гладкая функция $F$ с $k$ критическими точками на двумерной сфере послойно эквивалентна алгебраической функции $|P/Q|^2$, где $\max(2,k-1) > deg P > deg Q$ и все критические значения функции $P/Q$ действительны и неотрицательны. Если $F$ имеет ровно три критических значения (а потому $F$ соответствует детскому рисунку на двумерной сфере), то наша функция $P/Q$ является отображением Белого (т.е. непостоянным голоморфным отображением пополненной комплексной плоскости в себя, неразветвленным всюду кроме трех точек: 0, 1 и бесконечность), отвечающим этому детскому рисунку.