Предельные теоремы для геометрических характеристик гауссовских экскурсионных множеств

Экскурсионные множества стационарных случайных полей в последние годы привлекают большое внимание. Они применялись для моделирования сложных пространственных структур, возникающих в томографии, астрофизике и гидродинамике. Для случайного поля, заданного на некотором ограниченном множестве, и фиксированного числового уровня естественно возникает вопрос исследования геометрических свойств образованного экскурсионного множества. В частности, представляет интерес изучение таких числовых функционалов, как его объем, площадь поверхности, эйлерова характеристика. Начиная с классической формулы Райса (1945), было получено много результатов о вычислении моментов этих функционалов. Сложнее исследовать их асимптотическое поведение (когда индексирующее множество в определенном смысле растет к бесконечности), поскольку рассматриваемые случайные величины негладким образом зависят от реализаций случайного процесса или поля. Важные результаты здесь были получены Г. Крамером, Ю. К. Беляевым, В. И. Питербаргом, Т. Слудом, М. Кратц и другими учеными. В докладе планируется рассказать о недавних достижениях в данной области, относящихся к асимптотической нормальности и к функциональным предельным теоремам.