О производной категории гладких проективных многообразий с действием тора

Рассмотрим гладкое проективное многообразие с (линейным относительно какого-то вложения в проективное пространство) действием расщепимого одномерного тора с конечным числом неподвижных точек. В качестве примера можно взять расщепимое проективное однородное многообразие с действием тора общего положения. По теореме Бьялыницки-Бируля такое многообразие имеет клеточную фильтрацию с клетками, изоморфными аффинным пространствам; в частности, его K-теория является свободным модулем ранга, равного числу неподвижных точек. Гипотетически на производной категории когерентных пучков на таком многообразии должен существовать полный исключительный набор. Мы показываем более слабое утверждение, а именно, что производная категория реализуется как полуортогональное дополнение к некоторому (неполному) исключительному набору в категории с полным исключительным набором. Доказательство использует алгебро-геометрический аналог теории Морса, несколько раз переоткрывавшийся различными исследователями (работа Бриона и Прочези, "алгебраические сечения" Эдидина, "вариация GIT-факторов" Балларда, Фаверо и Кацаркова, а также комбинаторная версия Гийемина и Зары). А именно, оказывается, что каждое такое многообразие получается из взвешенного проективного пространства той же размерности последовательностью "взвешенных стековых" флипов; при каждом флипе либо добавляются новые исключительные объекты, либо "пропадают" (в смысле полуортогонального дополнения) старые.