Существование полиномиальных решений 4-ой степени простейшего уравнения Монжа-Ампера на плоскости. Сильный изгиб тонкой пластинки

В докладе будут представлены необходимые и достаточные условия существования решения уравнения Монжа-Ампера, когда решение и заданная правая часть уравнения являются полиномами 4-ой степени от переменных $х,у$. Будут показаны некоторые свойства действия оператора Монжа-Ампера на полиномы, исключительность случая полиномов 4-ой степени и трудности переносов результатов на полиномы степени $> 4$.
В докладе будут представлены приложения результатов к теории сильного изгиба тонкой пластинки, которая основывается на выведенной в книге Л.Ландау и Е.Лифшица "Теория упругости" системе двух уравнений на изгиб пластинки, функцию напряжений Эри и на внешнюю нагрузку. Укажем на связь с теоремами Н.В.Ефимова об отображениях полной плоскости $x,y$ на область плоскости $p,q$ при условиях на якобиан и ротацию.