Аннотация:
Марк Кац в статье, опубликованной в The American Mathematical Monthly, vol. 73, 1966, Part II, 1-23 и озаглавленной "Можно ли услышать форму барабана?", пишет: Впервые я узнал о такого рода проблеме около десяти лет назад от профессора Бохнера. Проблема, о которой Кац упоминает – это вопрос о возможности существования двух изоспектральных, но различных областей. Далее, он продолжает: Гораздо позже, когда я упомянул об этом профессору Берсу, он почти сразу сказал: «Вы имеете в виду, что если бы у Вас был абсолютных слух, Вы могли бы найти форму барабана?» Затем М. Кац добавляет: Теперь вы можете видеть, что «барабан» в названии моей статьи больше похож на бубен (который на самом деле является мембраной), лишенный живописного образа. Математическая проблема в том, сможем ли мы определить область $\Omega\subseteq \mathbb{R}^2$, если мы знаем все собственные значения спектральной задачи
$$-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}- \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \sigma u \,\,\,\,\text{в}\,\,\,\,\, \Omega,\, u = 0 \,\,\,\,\text{на}\,\,\,\, \Gamma = \partial \Omega.\,\,\,\,\,\, (1)$$
В докладе будет показано, что в случае, когда граница односвязной области $\Omega\subseteq \mathbb{R}^2$ аналитична, она однозначно (с точностью до конгруэнтности) определяется по спектру оператора Дирихле-Неймана, т.е. по дискретному набору чисел
$$0<\sigma_1\leq \sigma_2\leq \sigma_3\leq ... \leq \sigma_k\leq ..., \underset{k\rightarrow+\infty}{\lim} \sigma_k,$$
таких, что
$$-\frac{\partial u_k}{\partial \nu} = \sigma_k u_k\,\,\,\, \text{на} \,\,\,\partial \Omega, \,\,\text{где} \,\,\,\,\Delta u_k = 0\,\,\,\text{в} \,\,\,\Omega.$$
Однако, мне не удалось получить аналогичный результат по спектру оператора Лапласа, соответствующему задаче (1).
Семинар проходит также и в онлайн режиме. Для получения доступа к zoom конференции просьба обращаться к В.Ю. Протасову: v-protassov@yandex.ru
|
Обратная связь: