Моменты случайных разбиений

Мы исследуем предельное поведение $p$-го момента, то есть суммы $p$-х степеней частей случайного разбиения натурального числа $n$, выбранного с равными вероятностями среди всех разбиений числа $n$, когда $n$ возрастает к бесконечности, а $p$ – фиксированное вещественное число. После подходящего центрирования и масштабирования при $p\ge1/2$ (и отличном от $1$) предельное распределение будет гауссовским, а при $p<1/2$ – некоторым безгранично делимым распределением, зависящим от $p$, которое мы явно описываем. В частности, при $p=0$ это распределение Гумбеля, что было известно и ранее, а при $p=-1$ предельное распределение связано с тета-функцией Якоби и встречалось ранее как распределение некоторых функционалов от броуновского движения и связанных с ним стохастических процессов.