О пересечениях сопряжённых подгрупп конечного индекса

Знаменитая теорема Кэли утверждает, что если в группе $G$ существует подгруппа $H$ конечного индекса $n$, то в $G$ существует нормальная подгруппа индекса не более, чем $n!$ и эту подгруппу можно получить как пересечение всех сопряжённых с $H$. Рассматривая симметрическую группу степени $n$ в качестве $G$ и стабилизатор точки (симметрическую подгруппу степени $n-1$) в качестве $H$, нетрудно убедиться, что оценка в этой теореме неулучшаема. Оказывается, во многих интересных случаях оценка индекса нормальной подгруппы намного меньше, чем $n!$, обычно эта оценка равна $n^c$, т.е. полиномиальна.