Суммы двух квадратов и модулярные формы

Множество натуральных чисел, представимых в виде суммы двух квадратов, можно рассматривать как множество, промежуточное между простыми числами и множеством всех натуральных чисел. В этом контексте естественно решать задачи, представляющие интерес в случае простых чисел. Некоторые из них, такие как задача о числах-близнецах, оказываются тривиальными, а некоторые остаются настолько же сложными. Мы поговорим об одном из примеров последнего явления, а именно о распределении сумм двух квадратов в коротких интервалах. Задачи из этого направления оказываются тесно связаны со свойствами функции от двух переменных, которая проявляет некоторые из свойств автоморфных форм Якоби. В разложении Тейлора данной функции появляется последовательность одномерных модулярных форм, которая сводится к некоторой линейной дифференциальной рекуррентной последовательности многочленов. Все необходимые определения из теории модулярных форм будут даны в докладе.