Геометризация трёхмерных многообразий, определяемых раскрасками многогранников

В торической топологии каждому $n$-мерному простому многограннику $P$ и отображению $L$ множества его гиперграней в $Z^r$ (или $Z_2^r$), таким что для каждой вершины образы содержащих её гиперграней образуют часть базиса, сопоставляется гладкое $(n+r)$-мерное многообразие $M(P,L)$ с действием компактного тора $T^r$ (гладкое $n$-мерное многообразие $N(P,L)$ с действием группы $Z_2^r$). При этом $M(P,L)/T^r=P=N(P,L)/Z_2^r$.
Если r равно числу гиперграней многогранника, получается (вещественное) момент угол-многообразие.
Если r=n, получается квазиторическое многообразие (малое накрытие). Эти многообразия были введены в работе
Дэвиса-Янушкевича 1991 года как топологические аналоги торических многообразий в алгебраической геометрии.
Основы торической топологии были заложены в работах В. М. Бухштабера и Т. Е. Панова (см. Toric Topology, AMS, 2015), которые в центр внимания поставили момент-угол многообразия.
Описанная выше конструкция позволяет строить широкие семейства многообразий, для которых эффективно решаются фундаментальные задачи теории многообразий. Одним из примеров является задача описания алгебро-топологических инвариантов гладких многообразий, определяющих их с точностью до диффеоморфизма. В работе Ф. Фана, С. Ванга и Ю. Ма 2015 года было показано, что для любого трёхмерного прямоугольного гиперболического многогранника его момент-угол многообразие однозначно определяется своим кольцом когомологий в классе всех момент-угол многообразий. В 2021 году Н. Ю. Ероховец показал, что аналогичный результат верен для момент-угол многообразий многогранников, получаемых срезкой бесконечно удалённых вершин трёхмерных идеальных прямоугольных гиперболических многогранников. Указанные семейства многогранников являются широкими: первое включает в себя все фуллерены — простые 3-многогранники только с 5- и 6-угольными гранями. Второе семейство параметризуется множеством пар (трёхмерный многогранник $P$ (не обязательно простой) и двойственный ему многогранник $P*$).
В работе В. М. Бухштабера, Т. Е. Панова, Н. Ю. Ероховца, М. Масуды и С. Парк 2017 года было показано, что любое шестимерное квазиторическое многообразие над трёхмерным прямоугольным гиперболическим многогранником определяется с точностью до слабого эквивариантного гомеоморфизма своим кольцом целочисленных когомологий в классе всех квазиторических многообразий, а трёхмерное малое накрытие — своим кольцом $Z_2$-когомологий.
В центре внимания доклада будет ещё одна фундаментальная задача — программа геометризации Тёрстона трёхмерных ориентируемых многообразий. Согласно этой программе (окончательно обоснованной результатами Г. Я. Перельмана 2002-2003 года), любое трёхмерное ориентируемое многообразие может быть канонически разрезано на части, каждая из которой обладает геометрической структурой одного из 8 типов. Будет описано решение этой задачи в классе ориентируемых многообразий $N(P,L)$. Этот класс содержит малые накрытия, которые отвечают в точности раскраскам граней трёхмерного многогранника не более чем в 4 цвета. Более того, оказывается, что теорема о 4 красках равносильна существованию ориентируемого малого накрытия над любым трёхмерных прямоугольным гиперболическим многогранником. Решение задачи эффективного описания геометрического разложения многообразия N(P,L) получено автором в 2021 году. Для этого используются только 5 геометрий: $R^3$, $L^3$, $S^3$, $L^2xR$ и $S^2xR$. Доказательство основных результатов опирается на работы А. Ю. Веснина и А. Д. Медных (1986–1991), М. Дэвиса и Б. Окуня (2001), Т. Шрёдера (2009) и Т. Е. Панова (2016).