Комплексы функций Морса и топологические инварианты на пространствах функций Морса

Пусть $F=F(M,N)$ — пространство функций Морса с фиксированным множеством $N\subset M$ критических точек на гладкой замкнутой ориентируемой поверхности $M$. Изучаются связные компоненты пространства $F$, снабженного $C^\infty$-топологией.
1) В терминах числа вращения построен топологический инвариант $F\to\mathbb Z^{m-1}$ на пространстве $F$ (т.е. сюръекция, постоянная на компонентах связности пространства $F$), где $m$ — количество минимаксных критических точек, $m>2$. В частности, $|\pi_0(F)|=\infty$ при $m>2$.
2) Пусть $f\in F$ — отмеченная функция, $F_f$ — ее компонента связности в $F$. Изучим группу $D_f\subset D:=\mathrm{Diff}^+(M,N)$ всех диффеоморфизмов, переводящих $F_f$ в себя. Описано построение комплекса функций Морса — конечного связного клеточного комплекса $K$, клетки которого находятся во взаимно однозначном соответствии с $D$-орбитами на пространстве $F$ (т.е. $K:=\tilde K/(D/D^0)$, где $\tilde K$ — геометрическая реализация соответствующего цепного комплекса Васильева особенностей в $F$; в действительности $\tilde K$ и $F$ гомотопически эквивалентны). Описаны конечные системы порождающих элементов факторгрупп $D_f/D^0$ и $(D_f/D^0)/H_f$ в терминах двумерного остова комплекса $K$, где $D^0$ — компонента связности $\mathrm{id}_M$ в $D$, $H_f:=\prod_{\sigma\in K}\langle\!\langle S_\sigma\rangle\!\rangle$ — произведение нормальных замыканий (в группе $D_f/D^0$) подгрупп $S_\sigma:=(D^0\mathrm{stab}_Dg(\sigma))/D^0$, $g(\sigma)\in F_f$ — отмеченная функция из $D$-орбиты, отвечающей клетке $\sigma$.
3) С помощью числа вращения и скручиваний Дэна построен эпиморфизм $(D_f/D^0)/H_f^{\mathrm{abs}}\to{\mathbb Z}_2^{q-1}$, где $q$ — количество седловых критических точек, $H_f^{\mathrm{abs}}\subset H_f$ — произведение нормальных замыканий (в группе $D_f/D^0$) максимальных свободных абелевых подгрупп в подгруппах $S_\sigma$, $\sigma\in K$.
В частности, $\mathrm{rank}((D_f/D^0)/H_f)\le\mathrm{rank}(\pi_1(K))$. Поэтому $H_f=D_f/D^0$ при $M\ne S^2$ и $q\le 3$ (ввиду односвязности соответствующих комплексов $K$ функций Морса). Все построения будут снабжены примерами. Будет указана связь с фундаментальными группами комплексов групп.