Классификация сферических многообразий (обзор)

Сферические многообразия (т. е. алгебраические многообразия с действием связной редуктивной группы $G$, на которых борелевская подгруппа имеет открытую орбиту) являются важнейшим предметом изучения в современной теории алгебраических групп преобразований. Задача классификации сферических многообразий возникла в самом начале развития теории. Она естественно распадается на две части:
1) классификация сферических однородных пространств;
2) классификация сферических многообразий с данной открытой $G$-орбитой, т. е. открытых эквивариантных вложений данного сферического однородного пространства.
Вторая часть классификации была получена ещё Д. Луной в 1983 г. при построении основ теории сферических многообразий. Классификация же сферических однородных пространств оказалась весьма сложной проблемой, по которой были известны лишь частичные результаты. Аффинные сферические однородные пространства (т. е. с редуктивным стабилизатором) были классифицированы в работах М. Кремера (1979), И. В. Микитюка (1986) и М. Бриона (1987) (классификация симметрических пространств, которые также входят в указанный класс, была известна еще Э. Картану). Сферические однородные пространства ранга 1 были классифицированы Д. Н. Ахиезером (1983) и М. Брионом (1989).
Общий подход к классификации был предложен в 90-х гг. прошлого века Д. Луной: сферическому однородному пространству можно сопоставить определенный набор комбинаторных данных (сферическая система), имеющих вид определенной "надстройки" над корневыми данными группы G и удовлетворяющих ряду аксиом. Естественная гипотеза, что сферические однородные пространства классифицируются сферическими системами, была проверена для пространств ранга 2 Б. Вассерманом (1996) и для групп $G$ типа $A$ Д. Луной (2001), а также в ряде других случаев П. Брави и Г. Пеццини (2000-е гг.). В работах Луны–Брави–Пеццини использовался метод сведения общих сферических систем и однородных пространств к достаточно большому списку примитивных случаев и исследование этих случаев по отдельности. Более концептуальный подход был предложен С. Кюпит-Футу (2009): оказалось, что спектр кольца Кокса чудесной компактификации сферического однородного пространства изоморфен универсальному семейству над инвариантной схемой Гильберта, параметризующей аффинные $G$-многообразия с фиксированной $G$-модульной структурой координатной алгебры, определяемой по сферической системе данного пространства. Подобную инвариантную схему Гильберта можно построить по любой абстрактной сферической системе, после чего факторизацией универсального семейства по тору Нерона–Севери получить чудесное сферическое многообразие с данной сферической системой. Это позволяет завершить классификацию.