Некоммутативные пфаффианы, связанные с ортогональной алгеброй

Пусть $F_{ij}=E_{ij}-E_{ji}$ — образующие ортогональной алгебры $o_N$. Составим из них кососимметрическую матрицу $F=(F_{ij})$. Для каждого подмножества $I\subset \{1,\dots,N\}$, состоящего из чётного числа элементов, рассмотрим подматрицу $F_I=(F_{ij})_{i,j\in I}$. Можно рассмотреть пфаффианы (с умножением в универсальной обёртывающей алгебре) этих матриц $\operatorname{Pf}F_I$.
(Аналогичная конструкция имеется и в расщеплённой реализации ортогональной алгебры.)
Такие пфаффианы возникли впервые в работах Итоха и Умеды в связи с детерминантами типа Капелли. Ими сразу же было показано, что с помощью пфаффианов можно построить центральные элементы $C_k=\sum_{|I|=k}(\operatorname{Pf}F_I)^2$ в универсальной обёртывающей.
В первой части доклада я планирую рассказать о соотношениях между пфаффианами (коммутационные соотношения, соотшения на производящую функцию пфаффианов, связь между пфаффианами в кососимметрической и расщеплённой реализациях).
Во второй части доклада я планирую рассказать о действиях пфаффианах, построенных в расщеплённой реализации, в представлениях. В основном будет рассмотрен случай $o_{2n+1}$. Будет показано, что один из пфаффианов, с одной стороны, коммутирует с подалгеброй $o_{2n-1}$, а с другой стороны, переводит весовой вектор в весовой, меняя лишь $n$-ю компоненту веса. Так что этот пфаффианов является повышающим оператором в задаче построения базиса $o_{2n+1}$-представления, согласованного с $o_{2n-1}$ базисом. Имеется алгебра повышающих операторов — алгебра Микельсона–Желобенко. Будет выяснено, какому именно элементу алгебры Микельсона–Желобенко соответвует пфаффиан. Если останется время, будет рассказано о действии пфаффианов в тензорных представлениях.