Метод квантования динамических систем на алгебрах Ли

Для классической гамильтоновой системы с гамильтонианом $H$ на $\R^{2n}$ ее квантованием называют систему, полученную заменой гамильтониана $H$ на (псевдо)дифференциальный оператор с символом $H$. Если исходная система — интегрируема по Лиувиллю (то есть имеются $n$ интегралов в инволюции $H_1=H,\dots,H_n$), то соответствующая квантовая система называется интегрируемой, если существуют коммутирующие (псевдо) дифференциальные операторы с символами $H_1,\dots,H_n$.
Эти конструкции естественно рассматривать не только на симплектических многообразиях, но и на пуассоновых многообразиях; в этом случае число независимых первых интегралов должно быть равно половине размерности максимального симплектического листа. Классический пример такого рода — системы на алгебрах Ли, например, система Эйлера-Арнольда (движение многомерного твердого тела). Это система на пространстве кососимметрических матриц размера $n\times n$, имеющая форму Лакса $\dot M=[M,L]$. В 1976 году С.В.Манаков предложил способ строить дополнительные первые интегралы этой системы как функции от $M$, равные коэффициентам при степенях $\lambda$ многочленов $\mathrm{tr}((M+\lambda J^2)^k),\,k=1,\dots,n$. Другие примеры включают полную симметрическую систему Тоды и т.п.
В случае систем на алгебрах Ли естественно считать, что соответствующие квантовые системы — это коммутативные подалгебры в соответствующих универсальных обертывающих алгебрах $U\mathfrak g$ (или их пополнениях). Таким образом вопрос о квантовании (полиномиальных) интегрируемых систем на алгебрах Ли звучит так: «По данной коммутативной подалгебре Пуассона в $S\mathfrak g$ построить коммутативную подалгебру в $U\mathfrak g$.»
Алгебра инвариантов Манакова является такой подалгеброй в $S\mathfrak{so}_n$. Эта алгебра — пример «алгебры сдвига аргумента»: в общем случае можно показать, что для любого элемента $\xi\in\mathfrak g^*$ и любых двух центральных полиномов $f,g$ на $\mathfrak g^*$ коэффициенты разложения по $\lambda$ полиномов $f(x+\lambda\xi)$ и $g(x+\lambda\xi)$ Пуассон-коммутируют между собой. Получаемые таким образом коммутативные подалгебры обладают многими важными свойствами, в частности для $\xi$ общего положения они — максимальные коммутативные подалгебры Пуассона.
В 1990 году Э.Б.Винберг поставил вопрос о возможности поднять «алгебры сдвига аргумента» в универсальную обертывающую, в частности, построить квантовый аналог интегралов Манакова. С тех пор появилось несколько конструкций, которые позволяют это сделать. Все эти конструкции основаны на рассмотрении сдвигов коэффициентов характеристического многочлена, которые затем поднимают в обертывающую алгебру. Теоретически, это позволяет поднять и функции Манакова, но это непростой метод. В отличие от предыдущих конструкций, я расскажу о том, как можно построить на универсальной обертывающей алгебре $U\mathfrak{gl}_n$ оператор, который «поднимает» туда само векторное поле, вдоль которого производится сдвиг. Этот оператор связан с квазидифференцированиями этой алгебры, ранее определенными Гуревичем, Пятовым и Сапоновым. Я расскажу о свойствах этого оператора, о том, как его обобщать на другие алгебры Ли и о том, как доказать, что этот оператор определяет коммутативную алгебру. Также я опишу интересные следствия из этой конструкции, в частности, поговорю о том, как можно строить коммутативные семейства дифференциальных операторов на $GL_n$.
Доклад основан на совместной работе с моим аспирантом Я.Икэдой.