Представления коротких $\mathrm{SL}(2)$-структур

Пусть $S$ — произвольная редуктивная алгебраическая группа. Назовём $S$-структурой на алгебре Ли $\mathfrak g$ гомоморфизм $\Phi\colon S \to \mathrm{Aut}(\mathfrak g)$. Систематическое изучение $S$-структур было начато Э. Б. Винбергом.
В докладе рассматриваются $\mathrm{SL}(2)$-структуры. $\mathrm{SL}(2)$-структуру назовём короткой, если представление $\Phi$ группы $\mathrm{SL}(2)$ разлагается на неприводимые представления размерностей $1$, $2$ и $3$. Если неприводимые представления размерности $2$ в разложении отсутствуют (случай очень короткой $\mathrm{SL}(2)$-структуры), то получается известная конструкция Титса–Кантора–Кёхера, устанавливающая взаимно однозначное соответствие между простыми йордановыми алгебрами и простыми алгебрами Ли определённого вида.
Аналогично теореме Титса–Кантора–Кёхера, можно установить взаимно однозначное соответствие между простыми алгебрами Ли с короткой (но не очень короткой) $\mathrm{SL}(2)$-структурой и так называемыми простыми симплектическими структурами Ли–Йордана. Это соответствие было описано докладчиком в предыдущем докладе от 9 июня 2021 г. и опубликовано в Математическом сборнике (2023).
Короткие и очень короткие $\mathrm{SL}(2)$-структуры можно задавать на произвольных $\mathfrak g$-модулях, используя соответствующее линейное представление алгебры Ли $\mathfrak g$. Подобная конструкция имеет интересные приложения к теории представлений йордановых алгебр, о которых будет рассказано в докладе.