Алгебраические функции Морса и реализуемость любого расположения овалов на плоскости в виде алгебраической кривой

Доклад посвящен задаче, связанной с 16-й проблемой Гильберта об овалах. Мы показываем, что любое расположение овалов на плоскости можно реализовать (с точностью до изотопии) в виде алгебраической кривой степени $2k$, где $k$ — количество овалов. Более того, существует реализующий многочлен вида $|P|^2-|Q|^2$, где $P$ и $Q$ — взаимно-простые многочлены (степеней $k$ и меньше, соответственно) одной переменной $z=x+iy$ с комплексными коэффициентами, причем число корней многочлена $PQ$ равно $k$. При этом степень кривой $2k$ — наилучшая для реализующих многочленов указанного вида, т.е. ни для какого расположения овалов ее нельзя уменьшить, сохраняя вид $|P|^2-|Q|^2$ реализующего многочлена.
Более того, любая функция Морса $F$ на двумерной сфере, реализующая данное расположение $k$ овалов в виде своего множества нулей и имеющая минимальное число критических точек (равное $2k$), послойно эквивалентна некоторой функции вида $|P / Q|$. Более того, пространство всех таких функций Морса $F$ гомотопически эквивалентно пространству функций вида $|P / Q|$.