Реализуемость любого расположения $k$ овалов на плоскости в виде множества нулей многочлена степени $2k$

В 16-й проблеме Гильберта спрашивается о возможном расположении овалов на плоскости, из которых состоит алгебраическая кривая (т.е. множество нулей многочлена двух переменных) степени $m$ при условии, что количество овалов равно $k(m)=(m-1)(m-2)/2+1 = (m^2-3m+4)/2$. Указанное значение $k(m)$ — максимально возможное количество овалов для алгебраических кривых степени $m$, согласно теореме Харнака. Мы докажем, что любое расположение овалов на плоскости можно реализовать (с точностью до изотопии) в виде алгебраической кривой степени $m=2k$, где $k$ — число овалов. Более того, существует реализующий многочлен $P(x,y)$ специального вида, а именно:
$$P(x,y) = |Q|^2 - |R|^2,$$
где $z=x+iy$, $Q=Q(z)$ и $R=R(z)$ — взаимно-простые многочлены (степеней $k$ и меньше, соотв.) одной переменной с комплексными коэффициентами. При этом степень $m=2k$ — наилучшая для реализующих многочленов указанного вида, т.е. ни для какого расположения овалов ее нельзя уменьшить, сохраняя вид $P(x,y) = |Q(z)|^2 - |R(z)|^2$ реализующего многочлена. Более того, соответствующая функция $F(x,y) = |Q/R|$ топологически эквивалентна функции Морса $G$ на сфере, имеющей минимально возможное число критических точек (равное $m=2l$) среди всех функций Морса $G$, реализующих данное расположение овалов в виде своего множества уровня (такие функции Морса назовем $m$-функциями, или минимальными функциями). Любая $m$-функция Морса $G$ послойно эквивалентна некоторой функции вида $F(x,y) = |Q/R|$.