Аннотация:
Рассмотрим гладкое векторное поле на гладком двумерном римановом ориентируемом многообразии $M$. Гиперболическим полициклом векторного поля называется ориентированный граф, вложенный в многообразие $M$, который удовлетворяет следующим требованиям:
его вершины – это особые точки;
его рёбра – сепаратрисные связки (ориентация задаётся временем);
граф эйлеров (существует путь, обходящий каждое ребро полицикла по одному разу).
При малом возмущении полицикл может разрушиться и породить предельные циклы. Предельным циклом называется периодическая траектория, изолированная от остальных периодических траекторий. Предельный цикл имеет кратность $m$, если при малом возмущении он распадается, но не более чем на $m$ предельных циклов (полная аналогия с кратными корнями гладкой функции на действительной прямой).
Задача об оценке числа предельных циклов, рождающихся из полицикла, – это сложная задача, имеющая связь со второй половиной 16-й проблемы Гильберта (до конца нерешённой до сих пор). Поэтому возникает идея рассмотреть чуть более лёгкую задачу: оценить кратность любого рождающегося цикла. Оказывается, что в типичном случае их кратность не превосходит количество рёбер гиперболического полицикла (см. определение).
Самое интересное в этой задаче – это то, что она, сформулированная исключительно в терминах гладких векторных полей, сводится к решению некоторой полиномиальной системы. То есть, от диффуров мы переходим к коммутативной алгебре.
Обратная связь: