Аппроксимация квазистационарного распределения диффузионного процесса Ширяева с приложением к задаче обнаружения разладки

Рассматривается задача обнаружения разладки для Броуновского движения в минимаксной постановке Поллака (1985). Из предыдущей работы автора (ТВП 2017) известно, что рандомизированная процедура Ширяева-Робертса-Поллака, в основе которой лежит процесс Ширяева, является почти оптимальной в смысле Поллака асимптотически, при пренебрежимо малом уровне ложных тревог. Рандомизация заключается в выборе начальной точки статистики Ширяева случайным образом, в соответствии с квазистационарным распределением. Асимптотическая оптимальность процедуры Ширяева-Робертса-Поллака была доказана используя тривиальную оценку сверху на функцию распределения вероятностей квазистационарного распределения. В настоящей работе получены более точные верхние и нижние оценки на функцию распределения вероятностей квазистационарного распределения; оценки получены с использованием самых последних (2022 год) результатов в теории функций Бесселя. Новые оценки на квазистационарное распределение позволяют существенно уточнить скорость сходимости средней задержки процедуры Ширяева-Робертса-Поллака к (неизвестному) оптимуму.