Арифметические свойства и арифметические характеризации конечных групп

Симметрия является одним из фундаментальных принципов самоорганизации материальных форм в природе и формообразования в искусстве. Множество симметрий некоторого объекта, которые сохраняют какие-либо свойства этого объекта, образует группу, исследовав которую, можно получить новую информацию уже о самом объекте. Однако ситуация, когда группа симметрий исследуемого объекта известна заранее, является редкой, часто из эмпирических соображений удается извлечь только информацию о каких-то свойствах этой группы, например, некоторые ее арифметические параметры (такие, как множество порядков всех ее элементов, множество величин всех классов сопряженности элементов группы и т.д.). Поэтому актуальна задача описания структурных свойств и особенностей возможных действий группы на объектах, если известны только некоторые ее арифметические параметры. Одним из хорошо известных арифметических параметров конечной группы является ее граф Грюнберга-Кегеля, который часто называют также графом простых чисел. Это неориентированный граф без петель и кратных ребер, вершинами которого являются все простые делители порядка группы и две вершины смежны в котором тогда и только тогда, когда группа содержит элемент, порядок которого равен произведению этих вершин. Граф Грюнберга-Кегеля конечной группы, с одной стороны, бывает "достаточно легко" вычислить, с другой стороны, даже у очень большой группы граф Грюнберга-Кегеля может быть небольшим и при этом определять группу однозначно с точностью до изоморфизма. В этом докладе мы обсудим вопросы характеризации конечных групп их арифметическими параметрами, в частности, недавние результаты докладчика и ее соавторов о характеризации конечной группы ее графом Грюнберга-Кегеля.