О вычислении передаточной функции оператора Пуанкаре–Стеклова для функционально-градиентной упругой полосы

Рассматривается оператор Пуанкаре–Стеклова для изотропной функционально-градиентной упругой полосы, отображающий на части $\Gamma_q$ границы полосы нормальные напряжения $q_n$ в нормальные перемещения $u_n$:
\begin{equation*} u_n (x) = \int\limits_{\Gamma_q} g (x - \xi) q_n (\xi) d \xi, \end{equation*}
где $g(\cdot)$ — функция Грина. С помощью интегрального преобразования Фурье можно получить алгебраическое соотношение, связывающее трансформанты нормальных перемещений $\tilde u_n (\alpha)$ и нормальных напряжений $\tilde q_n (\alpha)$:
\begin{equation*} \tilde u_n(\alpha) = G(\alpha) \tilde q_n (\alpha), \end{equation*}
где $\alpha$ — параметр преобразования Фурье; $G(\alpha) = \tilde g(\alpha)$ — трансформанта функции Грина, называемая далее передаточной функцией (ПФ). В результате действие оператора Пуанкаре–Стеклова сводится к перемножению трансформант и выполнению прямого и обратного преобразований Фурье, для численной реализации которых применяют алгоритмы быстрого преобразования Фурье.
Для построения ПФ используется новый подход [1]. Получена вариационная формулировка краевой задачи для трансформант перемещений. Дано определение и доказаны существование и единственность обобщенного решения задачи. Построен итерационный метод решения вариационных уравнений и на основе принципа сжатых отображений получены условия его сходимости. Аппроксимация вариационных уравнений производится методом конечных элементов. В результате на каждом шаге итерационного метода требуется решить две независимые трехдиагональные системы линейных алгебраических уравнений, для решения которых применяется метод прогонки. Предложен эвристический алгоритм выбора последовательности параметров итерационного метода, обеспечивающей его сходимость. Проведена верификация разработанного алгоритма и даны рекомендации по использованию адаптивных конечно-элементных сеток.
При решении задач одностороннего дискретного контакта упругой полосы с жестким штампом требуется вычислять значения ПФ для достаточно больших значений параметра $\alpha$ [2]. Для сокращения вычислительных затрат целесообразно прибегнуть к асимптотическому разложению ПФ при $\alpha \rightarrow \infty$. Получена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно трансформант перемещений с малым параметром $\varepsilon = 1 / \alpha$ при старших производных. С помощью системы компьютерной алгебры SageMath построены внешнее и внутреннее асимптотические разложения решения этой краевой задачи. В результате получено трехчленное асимптотическое разложение ПФ. Для полученного отрезка асимптотического ряда построены две аппроксимации Паде. Предложен алгоритм вычисления ПФ с использованием асимптотического ряда и аппроксимаций Паде. Численные эксперименты подтвердили существенное сокращение вычислительных затрат.



1. Бобылев А.А. Численное построение трансформанты ядра интегрального представления оператора Пуанкаре-Стеклова для упругой полосы // Дифф. уравн. 2023. 59, № 1. 115–129.
2. Бобылев А.А. Алгоритм решения задач дискретного контакта для упругой полосы // Прикл. матем. и механ. 2022. 86, вып. 3. 404–423.