Априорные оценки решений смешанных задач для системы Власова-Пуассона

В докладе рассматривается первая смешанная задача для системы Власова–Пуассона с внешним магнитным полем относительно вектор–функции $\{\varphi, f^+, f^-\}$, рассматриваемой в области $Q\times\mathbb{R}^3\times(0,T)$. Здесь $Q=G\times \mathbb{R}$, $G\subset \mathbb{R}^2$ — ограниченная область с границей $\partial G\in C^\infty$, $\varphi=\varphi(x,t)$ — потенциал самосогласованного электрического поля в точке $x\in Q\subset \mathbb{R}^3$ в момент времени $t\in(0,T)$, $f^+=f^+(x,v,t)\, (f^-=f^-(x,v,t))$ — функция плотности распределения положительно заряженных ионов (отрицательно заряженных электронов) в точке $x\in Q$ со скоростью $v\in\mathbb{R}^3$ в момент времени $t\in(0,T)$. Предполагается, что $\varphi|_{\partial Q\times(0,T)}=0$ и $f^\pm|_{t=0}=f^\pm_0(x,v)$.
Эта задача описывает кинетику высокотемпературной плазмы в пробочной ловушке. Если достаточно большое число заряженных частиц попадает на стенку реактора, то либо реактор разрушается, либо плазма остывает и термоядерный синтез прекращается. Поэтому возникает проблема удержания плазмы на некотором расстоянии от стенки реактора. С точки зрения дифференциальных уравнений нам требуется найти решение смешанной задачи для системы уравнений Власова–Пуассона с компактными носителями функций плотности распределения $f^\pm(\cdot,v,t)$ в области $Q$. Существование таких решений обеспечивается влиянием внешнего магнитного поля определенной структуры, см. [1].
Доказано, что в случае достаточно сильного внешнего магнитного поля, направленного по оси цилиндра $Q$, решение первой смешанной задачи для системы уравнений Власова–Пуассона $\{\varphi, f^+, f^-\}$ с компактными по $x_1, x_2$ носителями функций плотности распределения $f^\pm$ удовлетворяет априорной оценке
$$ \max\limits_{0\le t\le T} \| |\nabla\varphi(\cdot,t)| \|_{C(\overline{Q})} \le c_1 \max\limits_{\beta=\pm} \| f^\beta_0\|_{C(\overline{Q}\times\mathbb{R}^3)}, $$
где $c_1>0$ не зависит от $f^\beta_0$.