Квадратичная оценка в гипотезе Кюнеля о вложениях

Классическое неравенство Хивуда утверждает, что если полный граф на $n$ вершинах вложим в сферу с $g$ ручками, то $g \ge (n-3)(n-4)/12$. Его многомерным аналогом является гипотеза Кюнеля, которая в упрощённой версии утверждает следующее: для любого целого $k$ найдётся константа $c_k > 0$ такая, что если объединение $k$-мерных граней $n$-мерного симплекса вложимо в связную сумму $g$ копий деркатовых произведений $S^k \times S^k$ двух $k$-мерных сфер, то $g > c_k n^{k+1}$.
Для $k > 1$ были известны только линейные оценки.
Мы представляем квадратичную оценку $g > c_k n^2$, основанную на красивом взаимодействии геометрической топологии, комбинаторики и линейной алгебры.