Асимптотики локализованных пучков и лагранжевы многообразия

В докладе обсуждаются асимптотические решения типа Бесселевых пучков трехмерного уравнения Гельмгольца, то есть решения, имеющие максимумы в окрестности оси z и описываемые на нормальных к ней плоскостях функциями Бесселя. Мы обсудим геометрический подход к описанию таких пучков и построению их асимптотик.
Отметим, что энергия классического пучка Бесселя оказывается неограниченной, в связи с чем возникает вопрос о локализации таких пучков. Один из возможных подходов к локализации – представить пучки в виде канонического оператора Маслова на двумерном лагранжевом многообразии. В случае пучка Бесселя такое многообразие некомпактно и содержит особенность в виде вырожденной складки. Чтобы получить локализованный пучок, мы рассмотрим канонический оператор от финитной функции. Также мы приведем метод, позволяющий получить равномерную асимптотику для локализованного пучка, опираясь на тип особенности многообразия.
Другой подход к локализации пучка – рассмотреть компактное лагранжево многообразие. Мы обсудим его на примере пучков Лагерра-Гаусса. В этом случае помимо вырожденной складки (соответствующей функции Бесселя) многообразие содержит также особенность в виде обычной складки, в окрестности которой асимптотика определяется функцией Эйри.
Доклад основан на совместной работе с С.Ю. Доброхотовым и В.Е. Назайкинским. Работа выполнена при поддержке РНФ (проект 21-11-00341).