О перемычках в модели перехода Джозефсона, изомонодромных деформациях и уравнениях Пенлеве 3

В докладе будет рассказано о совместной работе с Юлией Бибило. Эффект туннелирования в сверхпроводимости, открытый Б. Джозефсоном в 1960-е гг. (Нобелевская премия по физике за 1973 г.) относится к системе двух сверхпроводников, разделенных тонким слоем диэлектрика (называемой Джозефсоновским переходом). Он состоит в том, что если слой диэлектрика достаточно тонок и к сверхпроводникам подключено напряжение, то сквозь диэлектрик потечет сверхпроводящий ток, описываемый уравнением, открытым Джозефсоном. Эффект Джозефсона описывается семейством нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Мы обсудим его упрощенную версию (для так называемого сильно шунтированного перехода Джозефсона) – замечательное семейство уравнений первого порядка, встречающееся в разных областях математики, механики и физики. Оно имеет тригонометрическую правую часть и эквивалентно семейству динамических систем на двумерном торе. Семейство зависит от двух параметров (В, А), плюс третий параметр: фиксированная частота "внешней накачки". Интересно изучать число вращения как функцию от (В, А) и зоны захвата: те ее множества уровня, которые имеют непустую внутренность (аналоги знаменитых языков Арнольда). Известно, что зоны захвата существуют только для целых значений числа вращения. Каждая зона захвата является бесконечной гирляндой из областей, уходящих на бесконечность в вертикальном направлении. Две соседние компоненты зоны захвата разделены одной точкой, называемой перемычкой (за исключением точки раздела на оси абсцисс В, называемой точкой роста). Экспериментальный факт, обнаруженный В.М. Бухштабером, С.И. Тертычным, В.А. Клепцыным, Д.А. Филимоновым, И.В. Щуровым, состоит в том, что в каждой зоне захвата с числом вращения Р все перемычки лежат на одной вертикальной прямой с абсциссой В=Р. Это было частично доказано в совместной работе В.А. Клепцына, Д.А. Филимонова, И.В. Щурова и докладчика. В докладе будет представлено доказательство этого экспериментального факта в полной общности, а также того, что росток зоны захвата в перемычке содержит росток вертикальной прямой. Доказательство основано на связи с линейными уравнениями на сфере Римана, изомонодромными деформациями, уравнением Пенлеве 3 и быстро-медленными системами.
Будет представлен обзор открытых задач.