Биортогональные рациональные функции и эллиптические гипергеометрические функции

В первой части доклада будут рассмотрены общие биортогональные рациональные функции (БРФ), обобщающие ортогональные многочлены. Они удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению и могут быть сконструированы с помощью определителей, построенных из обобщенных моментов. Для БРФ с дискретной мерой соотношение биортогональности эквивалентно соотношению ортогональности для многочленов с переменной весовой функцией, предложенному А. А. Гончаром в 1978 г. Во второй части доклада будет описана система БРФ, выражающаяся через эллиптические гипергеометрические ряды и обобщающая все известные специальные функции классического типа. В 2000 г. автор ввел новый класс точно вычисляемых интегралов – эллиптические бета-интегралы. Простейший из них служит мерой для указанной системы БРФ. Более того, он служит мерой для еще более сложной системы биортогональных функций, которые уже не являются рациональными. Доклад носит обзорный характер и многие технические детали и доказательства будут опускаться.