О гильбертовых $C^*$-модулях с гильбертовым двойственным и о продолжимости функционалов

Подмодуль в гильбертовом $C^*$-модуле называется толстым, если его ортогональное дополнение нулевое. Недавно Каад и Скайде обнаружили примеры нетривиальных функционалов, ограничение которых на толстый подмодуль равно нулю. Эти примеры работают для $C^*$-алгебр, далеких от $W^*$-алгебр (например, для $C[0,1]$). Долгое время предполагалось, что для $W^*$-алгебр такие примеры невозможны. Нам это до сих пор неизвестно, но мы доказали это для коммутативных $W^*$-алгебр и для $B(H)$. Для гильбертовых модулей с гильбертовым двойственным (а указанные случаи сюда включены) мы предлагаем инструмент для проверки этой гипотезы. С его помощью удается доказать, что для модулей над алгеброй борелевских функций на $[0,1]$ (над этой алгеброй все гильбертовы модули имеют гильбертов двойственный) функционалы типа Каада-Скайде существуют.