Неаналитические первые интегралы аналитических систем дифференциальных уравнений в окрестности устойчивых положений равновесия

Приведены примеры аналитических систем дифференциальных уравнений в четномерных фазовых пространствах с изолированными положениями равновесия, которые допускают неаналитические первые интегралы. Эти интегралы положительно определены в окрестности равновесий, что доказывает их устойчивость (на всей оси времени). Однако эти системы дифференциальных уравнений вообще не допускают нетривиальных первых интегралов в виде формальных степенных рядов. В частности, из устойчивости по Ляпунову равновесий аналитических систем дифференциальных уравнений не вытекает их формальная устойчивость.