Задача Штурма–Лиувилля для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами

Рассмотрена классическая задача Штурма–Лиувилля для однородного самосопряженного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, зависящими от постоянного параметра.
\begin{equation}\nonumber \frac{d}{dx}\bigg[C(x)\frac{du}{dx}\bigg]+q(x)u=0\,,\qquad x\in(a,b)\,,\eqno(1) \end{equation}
где коэффициенты $C(x)$ и $q(x)$ зависят от постоянного параметра $\lambda$ (либо оба коэффициента, либо один из них). Показано, что с помощью интегральной формулы, полученной ранее автором, можно выписать общее решение исходного уравнения (1), содержащее две произвольные константы
\begin{equation}\nonumber u(x)=K_IA_I(x)\equiv K_1A_1(x)+K_2A_2(x)\,,\eqno(2) \end{equation}
где $K_1$ и $K_2$ — произвольные комплексные константы. Функции $A_I(x)$ также комплексные величины — два линейно независимых решения исходного уравнения
\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} &A_1(x)=e^{i\mu_\textrm{o}x}+ i\mu_\textrm{o}\int\limits_a^b \frac{\partial G(x,\xi)}{\partial\xi}\tilde{C}(\xi)\, e^{i\mu_\textrm{o}\xi}d\xi-\int\limits_a^b G(x,\xi)\tilde{q}(\xi)e^{i\mu_\textrm{o}\xi}d\xi\,, \\ &A_2(x)=e^{-i\mu_\textrm{o}x}- i\mu_\textrm{o}\int\limits_a^b \frac{\partial G(x,\xi)}{\partial\xi}\tilde{C}(\xi)\, e^{-i\mu_\textrm{o}\xi}d\xi-\int\limits_a^b G(x,\xi)\tilde{q}(\xi)e^{-i\mu_\textrm{o}\xi}d\xi\,. \end{aligned}\eqno(3) \end{equation}

Здесь $i$ — комплексная единица. $\tilde{C}(\xi)=C_\textrm{o}-C(\xi)$ и $\tilde{q}(\xi)=q_\textrm{o}-q(\xi)$. Константы $C_\textrm{o}$, $q_\textrm{o}$ и $\mu_\textrm{o}$ определяются по следующим формулам: $C_\textrm{o}= 1/\big<1/C\big>$, $q_\textrm{o}= \big<q\big>$, $\mu_\textrm{o}=\sqrt{q_\textrm{o}/C_\textrm{o}}$. Угловые скобки означают среднее значение функции в области определения. $G(x,\xi)$ — фундаментальная функция исходного уравнения, которая находится из решения фундаментального уравнения
\begin{equation*} \frac{d}{dx}\bigg[C(x)\frac{dG(x,\xi)}{dx}\bigg]+q(x)G(x,\xi)+ \delta(x-\xi)=0\,,\qquad x,\xi\in(a,b)\,, \end{equation*}
$\delta(x-\xi)$ — обобщенная дельта-функция Дирака. Решение фундаментального уравнения (то есть фундаментальная функция) находится приближенно, либо методом возмущений, либо методом последовательных приближений.
Для уравнения (1) рассматривается краевая задача с однородными условиями
\begin{equation}\nonumber \alpha_1u(a)+\beta_1u'(a)=0\,,\qquad \alpha_2u(b)+\beta_2u'(b)=0\,,\eqno(4) \end{equation}
где $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta_1$, $\beta_2$ — заданные константы. В зависимости от выбора констант $\alpha_1, \beta_1, \alpha_2, \beta_2$ из условий (4) получается первая, вторая и третья краевые задачи. Можно также рассматривать задачу Коши, когда на одном краю задаются значение искомой функции $u(x)$ и её первой производной $u'(x)$ — начальные условия.