Применение методов интегральной геометрии для изучения топологии геодезических на деформированных сфера

Изучаются геодезические на гиперповерхностях, близких к стандартной $(n-1)$-мерной сфере в n-мерном евклидовом пространстве. Мы рассматриваем задачу в рамках аналитической механики и используем теорию возмущений с целью получить топологическую классификацию множества всех геодезических на поверхности. Для этого мы используем лучевое преобразование, известное в интегральной геометрии, и получаем систему осредненных уравнений движения на пуассоновой алгебре углового момента. Полученная система оказывается гамильтоновой. Таким образом, осуществляется асимптотическая редукция исходной точной системы из $2n-2$ уравнений для геодезических к осредненной системе $2n-4$ уравнений на многообразии Грассмана $G(2,n)$. Скобки Пуассона в новой системе определяются алгеброй Ли группы $SO(n)$. В важных случаях двумерных, а также ряда трехмерных гиперповерхностей построенная редукция позволяет выполнить топологическую классификацию геодезических.
Для специального класса алгебраических двумерных поверхностей исследована связь топологических инвариантов А. Т. Фоменко слоения Лиувилля редуцированной системы со свойствами коэффициентов полинома, задающего деформацию сферы.