О рангах матриц над некоммутативными областями

Рассматриваются матрицы с элементами в некоторой области R, т.е. в кольце, вообще говоря, некоммутативном, без делителей нуля. Обсуждаются понятия рангов по строкам и столбцам. (Коэффициенты линейных зависимостей принадлежат R; для строк используются левые коэффициенты, для столбцов - правые.) В предположении, что область удовлетворяет условию Оре, т.е. условию существования ненулевого общего кратного для произвольных ненулевых элементов, доказывается, что ранги по строкам и столбцам совпадают для любой матрицы над R, и можно говорить просто о ранге. Предлагается алгоритм вычисления ранга. Наша реализация алгоритма в среде Maple покрывает области дифференциальных и (q-)разностных операторов, как обыкновенных, так и с частными производными и разностями. Доклад основан на совместной работе автора с М. Петковшеком и А.А. Рябенко.