Косы и узлы. Отображения из цилиндра в виртуальную категорию

В теории виртуальных узлов за последние десятилетия В.О.Мантуровым был обнаружен ряд инвариантов, принципиально новых в маломерной топологии. К таковым относится, например, скобка четности — инвариант, принимающий значения в линейной комбинации диаграмм узлов. Существуют диаграммы достаточно сложных виртуальных узлов $K$, для которых выполняется равенство $[K]=K$, иными словами, значение на узле, задаваемом диаграммой $K$, равно диаграмме $K$ с коэффициентом $1$. Это позволяет сводить различные вопросы об узлах к вопросу о единственной их диаграмме. Так, например, если диаграмма $K'$ эквивалентна диаграмме $K$ (задает тот же узел), то имеет место $[K']=K$, что по построению означает, что $K$ “присутствует внутри” диаграммы $K'$. Этот феномен близок к похожему феномену в свободных группах: единственный редуцированный представитель любого элемента может быть получен “вычеркиванием букв” из любого слова, задающего этот элемент. Такие инварианты (вида скобок) возникают в теории виртуальных узлов в связи с наличием феномена четности (гомологий объемлющего пространства); они формально не работают в случае классических узлов (наличие четности связано с первыми гомологиями объемлющего пространства, которые отсутствуют в случае плоскости); в случае формального применения к узлам в цилиндре они дают не сильные инварианты. Помимо скобок четность позволяет усиливать многочисленные известные инварианты классических узлов, а также строить “некоммутативные инварианты” и инварианты конкордантности (препятствия к срезанности) достаточно легким способом.
Цель настоящего доклада — построить “функториальные отображения” из узлов в полнотории $S^{1}\times D^{2}$ и узлов в утолщенном торе $T^{2}\times D^{2}$ в аналоги виртуальных узлов, лежащих на поверхностях большого рода. Это позволяет переносить технику виртуальных узлов на классические объекты — зацепления, одна из компонент которых тривиальна.
Доклад состоит из двух частей. В первой части мы работаем с классическими косами из “размениваем” одну или две классические нити на увеличение рода объемлющего пространства (вместо кос на плоскости получаем косы на цилиндре), после чего увеличиваем род поверхности и далее строим новые представления кос, которые, в частности, нетривиальны на элементе из ядра представления Бурау. Во второй части доклада мы работаем с зацеплениями в полнотории и в утолщенном торе (которые можно трактовать как зацепления с одной или двумя дополнительными тривиальными компонентами в трехмерном пространстве) и обсуждаем различные примеры применения виртуальных инвариантов в классическом случае. Далее рассматривается ряд проектов и открытых вопросов, среди них:

• применения описанных выше методов к классическим узлам с единственной компонентой;
• кобордизмы и конкордантность;
• лежандровы узлы;
• вложенные в пространство $\Theta$-графы и их инварианты.