Вычисление группы компонент вещественной алгебраической группы

Пусть $G$ — связная алгебраическая группа, определённая над $\mathbb R$. Множество её комплексных точек $G(\mathbb C)$ есть связная комплексная группа Ли, а множество вещественных точек $G(\mathbb R)$ — вещественная группа Ли, но уже не обязательно связная: в качестве контрпримера достаточно взять $GL_n(\mathbb R)$. Оказывается, что группа компонент связности группы Ли $G(\mathbb R)$ всегда будет элементарной абелевой 2-группой. Этот результат был впервые получен Х. Мацумото в 1964 г. для полупростых алгебраических групп.
Обобщая и уточняя теорему Мацумото, мы явно вычислим группу компонент связности группы Ли $G(\mathbb R)$ для произвольной (не обязательно линейной) связной алгебраической группы $G$, основываясь на её разложении Розенлихта и длинной точной последовательности вещественных когомологий Галуа для короткой точной последовательности универсального накрытия группы Ли $G(\mathbb C)$. Ответ выглядит особенно наглядно в случаях, когда $G$ — линейная алгебраическая группа или абелево многообразие.
Случай линейных алгебраических групп опубликован в недавней работе доклачика «О группе компонент вещественной алгебраической группы», arXiv:2203.14024, см. также arXiv:2204.11482. Доклад можно рассматривать в некотором смысле как продолжение доклада от 10 ноября 2021 г.