Число Пеано-Гёльдера

Под условием Гельдера для кривой $p(t)$ в $n$-мерном пространстве понимается ограниченность следующего (кубо-линейного) отношения:
$$ \frac{|p(t_1)-p(t_2)|^n}{t_1-t_2} $$
. Условию Гельдера удовлетворяют многомерные фрактальные кривые Пеано, имеющие многочисленные приложения в Computer Science. Для приложений наибольший интерес представляют кривые с наименьшим растяжением (максимумом кубо-линейного отношения). Особый интерес представляет задача нахождения числа Пеано-Гельдера $n$-мерного куба, определяемого как минимум растяжения среди всех отображений единичного отрезка на единичный куб. Для $n=2$ и евклидовой метрики это число, предположительно равно 4. Доказано, что оно в интервале $(3\frac58,4]$. Для $n=3$ и евклидовой метрики гипотез о точном значении числа нет, установлен лишь интервал $(11.1,17)$. В частности, докладчиками показано, как можно упорядочить любое конечное множество точек трехмерного единичного куба, чтобы полученная последовательность $x_0,\dots, x_k$ имела трехмерную вариацию $\sum\limits_{i=1}^k |x_{i}-x_{i-1}|^3$ меньше семнадцати.
Докладчиками разработаны алгоритмы компьютерного поиска оптимальных фрактальных кривых Пеано и доказано, что число Пеано-Гельдера выпуклого тела совпадает с верхней гранью гипервариаций, содержащихся в нем конечных последовательностей. Гипервариация последовательности $x_0,x_1\dots x_k$ точек $n$-мерного компакта определяется как максимум $n$-мерных вариаций ее подпоследовательностей.