Гамильтоновы системы с функциональным параметром в форме потенциала

Пусть $T=T(h)$ – вещественно-аналитическая в $0\in R$ функция, $T(0)=\pi$. Пусть $H(x,y) = x^2+y^2 + O_4(x,y)$ – вещественно-аналитический в $0\in R^2$ четный гамильтониан. Я расскажу о теореме, утверждающей, что существует вещественно-аналитическая четная функция $\phi = \phi(x) = O_4(x)$ такая, что любое решение уравнений Гамильтона
$$ \dot x = \partial_y(H + \phi), \quad \dot y = - \partial_x(H + \phi), $$
расположенное около начала координат, на уровне энергии $h>0$ периодично и имеет период $T(h)$. Планирую также поговорить о мотивировках и возможных обобщениях.