Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на 4-мерных многообразиях

Доклад посвящен топологии слоений с особенностями, возникающих в интегрируемых гамильтоновых системах на 4-мерных многообразиях. Интегрируемая система задается парой гладких функций $f_1, f_2$, коммутирующих относительно скобки Пуассона, на симплектическом 4-мерном многообразии M. Рассмотрим слоение (с особенностями) на $M$, называемое слоением Лиувилля, слои которого суть связные компоненты совместных множеств уровня данных функций. Две интегрируемые системы назовем топологически эквивалентными, если существует гомеоморфизм между соответствующими 4-мерными многообразиями, сохраняющий ориентации и переводящий слои одного слоения в слои другого слоения. Когда две системы топологически эквивалентны? Для решения этого вопроса мы сопоставляем любой интегрируемой системе (простой) комбинаторный объект — базу слоения Лиувилля с некоторыми метками. Наша теорема утверждает, что этот объект полностью характеризует топологию слоения Лиувилля, если $M$ компактно, все особенности невырождены, есть особенность ранга 1 и база слоения ориентирована. Мы также расскажем некомпактный случай. Как частный случай получаем теорему Фоменко-Цишанга о топологической классификации интегрируемых систем на неособых изоэнергетических 3-мерных многообразиях.