Пополнения алгебр аналитических функционалов, PI-алгебры и универсальные свойства

В предыдущих докладах (сентябрь 2018 и май 2019) обсуждались некоторые свойства алгебры аналитических функционалов на связной комплексной группе Ли и её оболочки Аренса-Майкла. Ныне будет рассказано о других пополнениях этой алгебры (тоже до алгебры Аренса-Майкла). Я объясню, как можно строить такие пополнения исходя из субмультипликативного веса, используя конструкцию, предложенную Акбаровым. Основная цель — найти те из них, которые обладают универсальными свойствами, связанными с понятием веса с экспоненциальным искажением на подгруппе. Мы выясним, что экспоненциального искажения можно добиться, используя гомоморфизмы в банаховы алгебры, удовлетворяющие полиномиальному тождеству (PI-алгебры). Доказательство опирается как на чисто алгебраические результаты (классическая теорема Кемера-Размыслова о радикале PI-алгебры и теорема Бахтурина о факторалгебрах универсальной обертывающей алгебры), так и на аналитические (свойства обобщенных скалярных элементов и результат Туровского о принадлежности некоторого коммутанта радикалу банаховой алгебры). Будет сформулирован следующий результат: для каждой подгруппы из некоторого класса существует вес, максимальный среди весов с экспоненциальным искажением, а соответствующее пополнение обладает естественным универсальным свойством. Основной универсальный объект, который возникает на этом пути — оболочка топологической ассоциативной алгебры в классе банаховых PI-алгебр (ослабленная версия оболочки Аренса-Майкла). В частности, алгебра «формально-радикальных функций», определённая Доси, является такой оболочкой.