Доказательство гипотезы Пшитыцкого о парных диаграммах узлов

Плоская диаграмма узла называется парной (matched), если ее перекрестки можно разбить на пары перекрестков простейшего вида (коса из двух нитей, равная квадрату образующей).
В 1987 году известный специалист по теории узлов Йозеф Пшитыцкий поставил вопрос, можно ли любой узел изобразить парной диаграммой. Он предполагал, что ответ отрицательный, но контрпримера придумать не мог. По сообщению Пшитыцкого, в 1991 году Джон Конвей сказал ему, что знает контрпример, но предъявить его не смог. Вскоре этот вопрос попал в известный сборник открытых проблем в топологии, который поддерживает в Интернете Роб Кирби (math.berkeley.edu/~kirby/problems.ps.gz).
Мы даем решение этой проблемы, а именно, доказываем, что крендельный узел $P(3,3,-3)$, среди некоторых прочих, не представим парной диаграммой. Доказательство основано на построении специальных поверхностей Зейферта по парным диаграммам и свойствах идеалов Алдександера.
Работа выполнена совместно с моим студентом М. Школьниковым (arxiv.org/abs/1105.1264).