Кососимметрическая двойственность между группами Ли и предельные формы диаграмм

На внешней алгебре комплексного векторного пространства подходящей размерности действуют пары групп Ли, при этом действия групп коммутируют. В результате внешняя алгебра раскладывается без кратностей в прямую сумму тензорных произведений неприводимых представлений двух групп Ли. При этом представление одной из групп задается (обобщенной) диаграммой Юнга, а второй – транспонированной дополнительной диаграммой. Для пары групп (GL(n),GL(k)) такое разложение, записанное для характеров, приводит к двойственному тождеству Коши для полиномов Шура. Аналогичные тождества для характеров имеются для пар групп (Sp(2n),Sp(2k)), (SO(2n+1),Pin(2k)), (O(2n),O(2k)). Выбрав некоторую специализацию характеров, мы можем определить вероятностную меру на диаграммах, входящих в разложение. В пределе, когда n и k стремятся к бесконечности с одинаковой скоростью и специализации характеров задаются достаточно хорошими функциями, диаграммы сходятся к предельным формам. Мы обсудим результаты о сходимости, зависимости предельных форм от специализации, отношения k/n и пары групп Ли, а также глобальных флуктуациях вокруг предельных форм.
Совместно с Павлом Никитиным, Ольгой Постновой и Тревисом Скримшоу.