Семинар 43. О плотности графа Кэли группы Р. Томпсона $F$ в стандартной системе образующих

Плотностью конечного графа мы называем среднюю степень его вершин. Для графа Кэли группы $G$ с $m$ порождающими известно, что $G$ аменабельна тогда и только тогда, когда точная верхняя грань плотностей конечных подграфов достигает максимального значения $2m$.
Для группы Р. Томпсона $F$ проблема её аменабельности является давним открытым вопросом. Предпринимались многочисленные попытки решать её как в ту, так и в другую сторону. Для графа Кэли этой группы в стандартной системе порождающих $\{x_0,x_1\}$ имеется конструкция Белка и Брауна. Она была предложена в 2004 году. Это система конечных подграфов плотности, стремящейся к $3,5$. Безуспешные попытки улучшить эту оценку на протяжении около 15 лет породили гипотезу, что данная конструкция является оптимальной. Отсюда вытекала бы неаменабельность группы.
Недавно автором было получено улучшение, которое показывает, что это предположение неверно. А именно, существуют конечные подграфы плотности строго большей $3,5$. Это делает более правдоподобным предположение о том, что $F$ всё-таки является аменабельной.